Voici une vidéo de Michel Broué de l'institut Henri Poincaré (plus d'une heure !!) d'un "cours", vous permettant de découvrir le lien entre la musique et les mathématiques.... Les notes et leur positionnement ne sont pas un hasard !!
Cous passionnant, car fournissant un autre éclairage sur la musique !
Vous pouvez écouter la vidéo sur le blog, ou vous rendre sur le site de l'Ecole Normale Supérieure, provenance de cette vidéo (lien)
Pour ceux qui sont pressés, on y rapelle que les notes sont en racine 12ième, et qu'une octave est donc une multiplication par 2 de la fréquence. Le passage de DO à FA# est donc une multiplication par racine de 2.
Transposer, c'est multiplier les notes par un facteur, ou faire tourner les notes sur un cercle, sur lequel on a placé les 12 notes à égale distance (par 1/2 ton).
Le cadre tonal est défini comme un sous ensemble des 12 notes. L'ensemble occidental, par exemple, à 7 notes (Do, Ré, Mi, Fa, ...) ==> Gamme de DO;
Le Type Tonal est défini comme le cadre tonal à transposition près. Exemple. On décalle d'un demi-ton, on obtient la gamme de Do#. En fait, ce sont des rotations sur le cercle.
Autre exemple de cadre tonal: Cette fois à 4 notes (Do, Ré#, Fa#, La), qui est symétrique sur le cercle (qu'on ne retrouve pas dans l'occidental). Autre exemple, la gamme par Ton (on saute une note sur 2). Dernier exemple: A 2 note, opposées sur le cercle (Si,Fa) [diabolus musica]
La cadre total occidental a la propriété particulière qu'il a 12 transformées (à chaque fois, il y a une note qui change)
Pour les autres cadres tonal, combien peuvent-ils avoir de transformées ? Un diviseur de 12 (1,2,3,4,6,ou 12). Les autres présentés en ont 3, 2 (gamme par ton), 6 (diabolus musica). Normal ! Si un ensemble régulier a X notes, il a 12/X transposées distinctes.
Petit exercice combinatoire: On prend les 12 notes, et on calcule combien il y a de sous ensemble qui ont 12 transformées, combien en ont 6, combien en ont 4, 3, 2, et 1 ? réponse: il y a 4096 cadre tonaux possible, qui sont répartis comme suit: 335 cadres tonaux (qui ont 12 transposées), 9 (qui ont 6 transposées), 3 (qui ont 4 transposées), 2 (qui ont 3 transposées), 1 (qui a 2 transposées ==> C'est la gamme par ton, elle est unique), 2 (qui a 1 transposée).
Parmis les 335 cadres tonaux, qu'est-ce que le cadre occidental a de particulier ?
Un cadre tonal voisin, est un cadre qui a juste une note qui diffère. Sur le cercle, FA, DO, SOL, Ré, LA, MI, SI ==> Entre DO et SOL, il y a 7 demi-tons. Entre DO et FA, il y en a 5, c'est l'inverse (5+7=0). En faisant cette opération là, on décrit tous les type tonaux de la gamme occidentale. En faisant +7, on les décrit tout le cercle. Il y a pas 50 opérations pour ça: on peut tourner de 1, et on décrit tout le cercle (ça, c'est évident...), ou alors on peut tourner de 5, (ou de 7), et on décrit tout. En fait, ce sont les nombres premiers qui ne sont pas diviseurs de 12 (il n'y a que 5 et 7).
Ensuite, on réordonne le cercle par 5 ou 7... et on trouve tout.
Le cadre tonal occidental possède la propriété qu'ils ont 12 transposées distinctes (comme 334 autres), mais également la propriété que quand on les "dièse" ou quand on les "bémols" (cad quand on les fait tourner de +7 ou +5), on obtient un cadre tonal donné. Il ne diffère du précédent cadre tonal que d'une note. C'est le seul parmis les 334 autres cadres tonaux qui a cette propriété.
La Mineur augmenté : Ce cadre tonal mineur augmenté possède une caractéristique particulière: Il contient 2 sous ensembles (Si;Ré;Fa;Sol#)[Bleu] et (Do,Mi,Sol#)[Rouge] qui sont tous les 2 des modes à transposition limitée. L'accord (Si;Ré;Fa;Sol#) est contenu dans 4 Cadres Tonaux Mineurs augmentés. Il sert d'intermédiaire, car il est contenu dans 4 cadres tonaux. (Beethoveen l'a pas mal utilisé).
De même, (Do;Mi;Sol#) est dans une gamme mineure augmentée, qui a 12 transposées. Cet accord a 4 transposées, et donc vit dans 3 cadres tonaux. Il peut donc jouer aussi le rôle de charnière.
Combien de cadre tonaux contiennent le type "Bleu" et "Rouge", à transposition près ? Il y en a 2 seulement ! L'un des 2 est le La mineur augmenté.
Il en arrive au théorème suivant: Il existe un unique cadre tonal (à transposition près) qui possède la propriété que quand on le Dièse ou on le Bémol, on obtient un ensemble voisin. Il contient aussi un Triton. Avec ça, il n'y a pas d'autres choix.
D = Opération de Diésage (+7)
B = Opération de Bémolage (+5)
n = Nombre de note du cadre tonal (1 à 11)
Si on prend 5 notes au lieu de 7 du cadre occidental, on trouve la Pintatonique Javanaise (les touches noires).
La gamme occidentale apporte le triton (les notes les plus loin possible sur l'échelle): Si/Fa, qui a 6 transposées distinctes, et appartient à 2 cadres tonaux: Gamme de Do, et gamme de Fa# (celle qui a le moins en commun de la gamme de Do) [cf à 58mn de la vidéo]
La transposition ordinaire consiste à aller à une voisine. Là, avec Si/Fa, ça permet d'aller le plus loin possible ! (les 2 ensembles les moins voisins) ==> Cas du Jazz.
Le triton appartient à 2 cadres tonaux. Du moment que l'on chosit une autre note, il est fatalement dans l'un ou l'autre !
Il a donc parlé de Z/12Z, et conclut ensuite en élargissant sur Z/18Z, qui est parfaitement compatible avec l'oreille humaine, qui saurait distinguer les 18 tons.
EDIT: On peut alternativement retrouver aussi son explosé ici: http://www.math.jussieu.fr/~broue/tonamath.pdf